7  Úvod do viacrežimových modelov

Doteraz sme preberali lineárne modely stacionárnych časových radov z triedy ARMA(p,q) a nestacionárnych (s dlhou pamäťou ARFIMA). V praxi však existuje mnoho časových radov, ktorých charakter nie je lineárny, resp. nie sú stacionárne. Typickým príkladom sú mnohé finančné a hydrologické časové rady, ktoré sú charakteristické premenlivým rozptylom, resp. strednou hodnotou. Striedajú sa v nich fázy s väčším a menším rozptylom, niekedy sú tieto obdobia dlhšie, inokedy kratšie. Z viacerých výskumov vyplýva, že autokorelácia má tendenciu rásť v obdobiach s menším rozptylom a klesať v obdobiach s väčším rozptylom.1 Zmenu rozptylu, resp. zmenu autokorelačnej funkcie možno chápať ako zmenu režimu v chovaní č.radu. Táto zmena môže byť spôsobená rôznymi faktormi, z ktorých niektoré sú dobre identifikovateľné (a predvídateľné), iné nie. Napr. pri mesačných hydrologických č.radoch priemerných prietokov sa dá očakávať väčší prietok začiatkom jari (keď sa topí sneh) a menší v zimných mesiacoch, zatiaľčo pri ročných č.radoch už nevieme odhadnúť, či bude priemerný ročný prietok malý (suchý rok), priemerný alebo nadpriemerne veľký. Podobne to je aj pri finančných č.radoch, kde sa môžu prejaviť systematické zásahy centrálnej banky do finančných trhov, no zmena režimu môže byť spôsobená aj nesystematickými a nepredvídateľnými faktormi.

7.1 Triedenie

V minulých desaťročiach bolo navrhnutých mnoho modelov č.radov, ktoré formalizujú myšlienku rozdielnych stavov (resp. režimov) systému. To umožnilo popísať dynamiku správania sa stochastického procesu v závislosti na režime, ktorý nastáva v každom časovom bode. Tu treba poznamenať, že aj lineárne modely sezónnej zložky predpokladajú akoby viac režimov stochastického procesu, no samotný proces zmeny režimov je deterministický. Nás naopak budú zaujímať prípady, kedy sa režimy menia náhodne. Ďalej, kvôli jednoduchosti, budeme predpokladať, že dynamické správanie sa časového radu môže byť v každom režime popísané lineárnym AR modelom, ktorého parametre závisia len od daného režimu. V naledujúcich kapitolách si popíšeme dva typy modelov s premenlivými režimami, a to s režimami určenými

  1. pozorovateľnými premennými
    Predpokladáme, že režimy v minulosti a súčasnosti sú známe, resp. ich môžme identifikovať rôznymi štatistickými technikami, a teda poznáme (alebo vieme odhadnúť) hranice jednotlivých režimov. Príkladom takých procesov sú triedy modelov TAR (Threshold AutoRegressive) so špeciálnou podtriedou SETAR (Self-Exciting TAR) a modely STAR (Smooth-Transition AR).
  2. nepozorovateľnými premennými
    Hranice režimov nepoznáme, ale dá sa odhadnúť stochastický proces, ktorý určuje zmenu režimu. Jednotlivé režimy teda nie je možné identifikovať presne, ale len s určitou pravdepodobnosťou. Príkladom sú MSW modely (Markov switching), niekedy značené aj ako MSwAR, MS-AR alebo MRS (Markov regime-switching).

7.2 Základné pojmy a vlastnosti

Podobne ako pri lineárnych modeloch aj nelineárne modely \[ X_t = F(\Omega_{t-1}) + \varepsilon_t \] sa skladajú z predpovedateľnej (deterministickej) \(F\) a šumovej časti \(\varepsilon_t\), kde \(\Omega_t=\{X_1,\ldots,X_t\}\) je informačná množina pozorovaní do času \(t\). Tá prvá predstavuje podmienenú strednú hodnotu, \(F(\Omega_{t-1})=E(X_t|\Omega_{t-1})\), pretože \(E(\varepsilon_t|\Omega_{t-1})=0\), a nazýva sa aj skeleton modelu.

Model má v bode \(x^*\) tzv. ekvilibrium, ak \(x^*\) je pevným bodom skeletonu, t.j., ak \(F(\{x^*,\ldots,x^*\})=x^*\). Ekvilibrium sa nazýva stabilné, ak proces generovaný skeletonom (teda bez šumu) konverguje k \(x^*\). (Stacionárny) lineárny časový rad má vždy jediné stabilné ekvilibrium rovné nepodmienenej strednej hodnote \(x^*=E(X_t)\), naproti tomu časový rad tvorený nelineárnym procesom môže mať jedno aj viac, stabilných aj nestabilných ekvilibrií, alebo aj žiadne, ako si čoskoro ukážeme. Aj keď má iba jedno stabilné ekvilibrium, nemusí byť totožné s nepodmienenou strednou hodnotou procesu. Ekvilibrium sa určuje riešením rovnice \(F(\{x^*,\ldots,x^*\})=x^*\), no v jednoduchšom prípade – ak skeleton je iba funkciou predošlej hodnoty – sa dá zistiť ako priesečník skeletonu a priamky \(x_t=x_{t-1}\). Stabilné ekvilibrium sa nazýva aj atraktor, pretože v prípade absencie náhodných vzruchov je č.rad ku nemu priťahovaný.

O stacionarite viacrežimových modelov nie je zatiaľ toho veľa známe a určuje sa pre jednotlivé triedy modelov zvlášť. Vo všeobecnosti môže byť viacrežimový model stacinárny aj vtedy, keď AR modely v jednotlivých režimoch stacionárne nie sú (pretože obsahujú jednotkové korene, t.j., sú to integrované procesy). Platí, že ak časový rad generovaný skeletonom má tendenciu k explozívnemu vývoju (pre danú počiatočnu podmienku), potom proces nie je stacionárny. Testovanie stacionarity teda vlastne spočíva v testovaní, či je skeleton stabilný, alebo nie je.

Táto kapitola podobne ako nasledujúce čerpajú najmä z (Franses a Van Dijk 2000, Chapter 3) a (Arlt a Arltová 2003, kap. 3).

7.3 Výstavba modelov

Už v tradične citovanej publikácii (Granger a Teräsvirta 1993) sa v procedúre výstavby nelineárneho modelu preferuje princíp “od konkrétneho ku všeobecnému”, kedy je vhodné začínať jednoduchšími, lineárnymi modelmi a potom, keď nie sú splnené podmienky ich použitia, prechádzať ku všeobecnejším a komplexnejším, nelineárnym modelom. Modelovací cyklus viacrežimových modelov SETAR, STAR a MSW tvoria nasledovné kroky:

  1. Pre daný časový rad určiť vhodný lineárny model AR(p).
  2. Testovať nulovú hypotézu linearity proceu oproti alternatívnej hypotéze nelinearity špecifikovaného typu.
  3. Odhadnúť parametre zvoleného nelineárneho modelu.
  4. Diagnostickými testami overiť vhodnosť modelu.
  5. Ak je potrebné, modifikovať model.
  6. Použiť model na popisné a predpovedné účely.

Krok 2. v prípade SETAR a MSW vyžaduje odhad parametrov testovaných modelov.

  1. Je to logické, pretože väčší rozptyl indikuje prítomnosť relatívne silnej nesystematickej zložky (reziduálnej), teda relatívne slabé systematické zložky, a naopak. To sa musí odraziť v autokorelačnej funkcii, ktorá charakterizuje práve systematické zložky.↩︎